Elektrotechnik – 5. Elektromagnetische Induktion

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

5. Elektromagnetische Induktion

1. Induktionsgesetz
2. Selbstinduktion
3. Energie des magnetischen Feldes
4. Kräfte an Grenzflächen

Grundprinzip

• Bisher: elektrisches Feld ruhender Ladungen (Elektrostatik) und magnetisches Feld konstanter Ströme (Magnetostatik)
• Sobald zeitliche Änderungen auftreten → Wechselwirkung zwischen elektrischen und magnetischen Feldern

Induktion: ein zeitlich veränderliches Magnetfeld erzeugt („induziert") ein elektrisches Feld

Induktion: technische Anwendungen

• Generatoren (Energieerzeugung)
• Transformatoren (Spannungswandlung)
• Elektromotoren, Rekuperation bei E-Fahrzeugen
• Induktive Ladesysteme (Smartphones, E-Autos)
• Sensoren (z.B. induktive Näherungsschalter)
• Induktionsherd
• Wirbelstrombremsen

Bewegung eines Leiterstücks im Magnetfeld

Lorentzkraft:

Kraft durch elektrische Feldstärke:

Kräftegleichgewicht:

Spannung an den Leiterenden: mit folgt:

Induzierte Spannung durch Bewegung im Magnetfeld

Das Induktionsgesetz in allgemeiner Form

Bewegtes Leiterstück (, , senkrecht zueinander):

Allgemein gilt:

Übergang auf Windungen:

Zwei Möglichkeiten der Induktion

1. Bewegungsinduktion: Leiter und Magnetfeld bewegen sich relativ zueinander
2. Ruheinduktion: Magnetischer Fluss ändert sich bei ruhendem Leiter

Induzierter Strom

Verbindet man die Enden des Leiterstücks über einen Widerstand (der sich nicht mitbewegt), so fließt ein induzierter Strom:

Die Lenz’sche Regel

Die induzierte Spannung ist stets so gerichtet, dass ein durch sie hervorgerufener Strom der Ursache seiner Entstehung entgegenwirkt.

Erklärung: die Energie, die am Widerstand in Wärme umgesetzt wird, stammt aus der mechanischen Arbeit, die aufgewendet werden muss, um die Flussänderung zu erzeugen – die Lenz’sche Regel ist Ausdruck der Energieerhaltung.

Das induzierte elektrische Wirbelfeld

Wichtige Erkenntnis: Bei Induktion ist die Spannung keine Potentialdifferenz!

• Das zeitlich veränderliche Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld
• Dieses Feld ist nicht konservativ – es existiert kein Potential

Ein Umlaufintegral entlang der Leiterschleife – über einen geschlossenen Weg!

Vergleich: Elektrostatik vs. Induktion

Elektrostatik: wirbelfrei, konservativ, Potential existiert:

Elektromagnetische Induktion: das induzierte Feld ist nicht wirbelfrei:

Dies ist das Faraday’sche Induktionsgesetz.

Die fundamentalen Integralgleichungen der Elektrodynamik

Fazit: Zeitlich veränderliche Felder koppeln elektrische und magnetische Phänomene!

Beispiel: Bewegte Leiterschleife im Magnetfeld

Rechteckige Leiterschleife bewegt sich mit durch ein homogenes, räumlich begrenztes Magnetfeld:

• Eintreten: zunehmender Fluss →
• Vollständig im Feld: konstanter Fluss → keine Induktion!
• Austreten: abnehmender Fluss → (umgekehrtes Vorzeichen)

Klausur-Klassiker: Verläufe und qualitativ skizzieren — ist die (negative) Steigung von !

Jetzt sind Sie dran: Induktion (zu zweit)

Aufgabe 14 (= Klausuraufgabe SoSe 2019, Aufgabe 1.2!)

Im Luftspalt eines Ferritkerns (Querschnitt ) sitzt eine bewegliche Messspule ( Windungen, Fläche ). Das Feld erzeugt eine feste Spule mit Windungen; . Ab wird die Messspule mit konstanter Geschwindigkeit herausgezogen; nach ist sie vollständig draußen.

a) Skizzieren Sie qualitativ durch die Messspule und die induzierte Spannung .
b) Welcher Fluss durchsetzt die Spule anfangs, damit beträgt?
c) Welche Flussdichte herrscht dann im Luftspalt, und welcher Gesamtfluss durchsetzt die feste Spule ()?
d) Welcher Strom muss durch die feste Spule fließen?

Von der Induktion zur Selbstinduktion

Bisher: Externes Magnetfeld induziert Spannung:

Jetzt: Stromfluss durch Spule → eigenes Magnetfeld

Bei Stromänderung ändert sich auch → Induktion in derselben Spule!

Selbstinduktion: Die Spule induziert eine Spannung in sich selbst.

Herleitung der Selbstinduktivität

Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises:

Mit folgt:

Proportionalitätskonstante : Induktivität (Selbstinduktivität)

Vorzeichen: Klemmenspannung vs. induzierte Spannung

• Induzierte Spannung (Umlaufintegral des Wirbelfelds)
• Klemmenspannung : messbare Spannung zwischen den Anschlüssen

Das Ringintegral wird entgegen der Pfeilrichtung der Klemmenspannung durchlaufen → Vorzeichenwechsel!

Vorzeichenkonvention (Verbraucherzählpfeilsystem):

Induktivität (inductance) einer Spule

Einheit: (Henry)

Zusammenhang zwischen Strom und Klemmenspannung:

Merkregel: verbindet den magnetischen Kreis () mit der Schaltung — eine Zahl fasst Geometrie, Material und Windungszahl zusammen.

Induktivität bei ferromagnetischen Materialien

• ist abhängig von (Hysterese, Sättigung!) → ist nicht konstant
• Effekt wird reduziert durch eine Spule mit Luftspalt:

→ hat kaum Einfluss auf bei kleinem Luftspalt

Klausurfrage (WiSe 2018/19): „Warum wird auch für nicht beliebig groß?" → weil der Eisenweg mit endlichem bleibt (und das Eisen sättigt).

Reihenschaltung von Induktivitäten

Die induzierten Spannungen addieren sich, der Strom ist überall gleich.

Intuition: Spulen verhalten sich wie eine einzige große Spule.

Parallelschaltung von Induktivitäten

Die Spannung ist überall gleich, die Ströme teilen sich auf.

Herleitung wie bei der Parallelschaltung von Widerständen:

Gleiche Regeln wie bei Widerständen (und umgekehrt zu Kondensatoren!)

Jetzt sind Sie dran: Drosselspule (zu zweit)

Aufgabe 15 (= Palme B4, Aufgabe 2 — die komplette Kette!)

Eine Drosselspule besteht aus einem Ringkern (, , ) mit Luftspalt . Wicklung: , .

a) Berechnen Sie und . Wer dominiert?
b) Wie groß ist der magnetische Fluss ?
c) Wie groß sind (überall gleich!) sowie im Eisen und im Luftspalt?
d) Wie groß ist die Induktivität der Spule?

Energiebilanz einer RL-Schaltung

Maschengleichung:

Energie:

Gespeicherte Energie in einer Induktivität:

Energiedichte des Magnetfeldes

Falls nicht bekannt oder nicht konstant ist:

Energiedichte (Energie pro Volumen):

Vergleiche Kondensator: , — die Struktur ist identisch!

Kräfte an Grenzflächen: Herleitung

Eisenjoch mit Luftspalt (Fläche ): Vergrößert man den Spalt um , entsteht neues Feldvolumen mit Energiedichte :

Mit folgt die Kraft am einzelnen Luftspalt:

Damit ist die Formel aus Kapitel 4 (Elektromagnet!) hergeleitet. ✓

Maxwell’sche Zugspannung

Mechanische Spannung (Kraft pro Fläche) an der Grenzfläche:

Anwendungen:

• Hubmagnete (Kräne, Bestückungsautomaten)
• Elektromagnetische Relais und Schütze
• Magnetische Verriegelungen

Zahlengefühl: bei ist — 1 cm² trägt 4 kg!

Jetzt sind Sie dran: Induktivität & Schalten (zu zweit)

Aufgabe 16 (Fortsetzung des Bestückungsautomaten aus Kapitel 4)

Der Elektromagnet hat Windungen und ; Betriebsstrom .

a) Welche Induktivität hat die Spule?
b) Beim Einschalten steigt der Strom konstant mit . Welche Spannung liegt dabei an der Induktivität?
c) Welche Energie ist im Magnetfeld gespeichert, wenn der Betriebsstrom erreicht ist?
d) An der Spule wird ein rechteckförmiger Spannungsverlauf angelegt ( für , dann ). Skizzieren Sie den Stromverlauf !

Unsere Basiseinheiten-Tabelle wächst

Herleitung an der Tafel: — damit ist die Klausur-Tabelle komplett!

Zusammenfassung: Elektromagnetische Induktion

• Induktionsgesetz: — Bewegungs- und Ruheinduktion
• Lenz: induzierter Strom wirkt seiner Ursache entgegen (Energieerhaltung)
• -Skizzen: ist die (negative) Steigung von
• Selbstinduktion: ; ; Reihe/parallel wie Widerstände
• Energie: ; Energiedichte
• Kraft am Luftspalt: (jetzt hergeleitet!)

Nächstes Kapitel: Wechselstrom – die komplexe Rechnung, das wichtigste Werkzeug des Semesters